유클리드 거리
Euclidean · 유클리디언
두 점을 연결하는 직선거리. 변수들의 분산·상관관계는 별도로 고려하지 않습니다.
d(x,y)=√[Σᵢ(xᵢ−yᵢ)²]
활용: 같은 척도의 위치·좌표 데이터
키·몸무게 등 단위가 다른 변수를 그대로 함께 넣으면 큰 스케일의 변수가 지배할 수 있습니다.
PART 03 / DATA ANALYSIS / CLUSTERING
군집분석의
거리와 유사도
데이터가 얼마나 가까운가?와 얼마나 닮았는가?를 구분하는 11장 구성의 시험·강의용 핵심노트
교재 p.449–451연속형·이진형·벡터실전 계산 + 기출 4문항
학습자료 구성: 개념 비교 → 거리 공식 → 시각적 이해 → 예제 계산 → R 코드 → ADsP 기출. 제공된 교재 발췌를 토대로 수식을 복원하고 일부 설명을 정확하게 보완했습니다.
01 / CORE MAP
목차 · 거리 측도는 어떻게 구분할까?
작을수록 비슷한 거리와 클수록 비슷한 유사도를 먼저 구분합니다.
① 연속형 수치 거리
Numerical Distance · 뉴메리컬 디스턴스
- 유클리드 · 직선거리
- 맨해튼 · 축 방향 차이의 합
- 체비셰프 · 최대 차이
- 민코프스키 · 일반화
② 분산·상관관계 반영
Statistical Distance · 스태티스티컬 디스턴스
- 표준화 거리 · 표준편차 반영
- 마할라노비스 · 분산·공분산 반영
- 캔버라 · 비율에 의한 차이
③ 집합·방향 유사도
Similarity · 시밀래러티
- 자카드 · 집합의 겹침
- 코사인 · 벡터 방향의 유사성
- 거리 = 1 − 유사도 (해당 정의 사용 시)
| 데이터 특성 | 우선 떠올릴 측도 | 핵심 판단 기준 | 교재 |
|---|---|---|---|
| 비슷한 스케일의 연속형 | 유클리드 · 맨해튼 | 실제 차이의 크기 | 449쪽 |
| 측정 단위가 다름 | 표준화 + 유클리드 | 표준편차 단위의 차이 | 449쪽 |
| 변수 간 상관성이 있음 | 마할라노비스 | 공분산 구조 | 449·451쪽 |
| 0/1 속성의 집합 비교 | 자카드 | 공통 1의 비중 | 450쪽 |
| 문서 단어빈도 벡터 | 코사인 | 벡터의 방향 | 450쪽 |
기출 포인트: 교재는 유클리드·맨해튼·표준화·마할라노비스의 차이를 반복적으로 묻습니다. 공식 암기뿐 아니라 적용 상황까지 연결해 학습하세요.
02 / CONTINUOUS DATA Ⅰ
유클리드 · 표준화 · 마할라노비스
모두 거리를 계산하지만 반영하는 데이터의 정보가 다릅니다.
표준화 거리
Standardized · 스탠더다이즈드
각 변수의 차이를 해당 변수의 표준편차로 나누어 거리 계산.
d(x,y)=√[Σᵢ{(xᵢ−yᵢ)/sᵢ}²]
핵심: 척도와 분산의 차이를 완화
Z-score: zᵢ=(xᵢ−x̄ᵢ)/sᵢ
표준화된 데이터의 평균은 0, 표준편차는 1입니다(표본표준편차 기준).
표준화된 데이터의 평균은 0, 표준편차는 1입니다(표본표준편차 기준).
마할라노비스 거리
Mahalanobis · 마할라노비스
변수의 분산과 상관관계(공분산)를 함께 반영하는 통계적 거리.
d(x,y)=√[(x−y)ᵀS⁻¹(x−y)]
S: 공분산행렬 · S⁻¹: 역행렬
서로 강하게 상관된 변수들이 중복 계산되는 영향을 줄일 수 있습니다.
정확성 보완표본공분산은 관측 데이터만으로도 추정할 수 있으므로, 마할라노비스 거리 계산에 군집의 사전 정보가 반드시 필요한 것은 아닙니다. 다만 공분산 추정이 불안정하거나 행렬이 역행렬을 갖지 않으면 적용이 어려울 수 있습니다.
거리유클리드: 직선 길이
단위표준화: 분산 크기 보정
상관마할라노비스: 공분산 반영
03 / CONTINUOUS DATA Ⅱ
맨해튼 · 체비셰프 · 캔버라 · 민코프스키
네 공식의 차이를 합계 · 최대값 · 비율 · 일반화로 기억하세요.
맨해튼 거리 L1
Manhattan · 맨해튼
각 좌표의 절댓값 차이를 모두 합산. 격자형 도시를 이동하는 경로에 비유합니다.
d(x,y)=Σᵢ|xᵢ−yᵢ|
체비셰프 거리 L∞
Chebyshev · 체비셰프
좌표별 차이 중 가장 큰 차이만 측정합니다.
d(x,y)=maxᵢ|xᵢ−yᵢ|
캔버라 거리
Canberra · 캔버라
절댓값 차이를 각 변수의 절댓값 합으로 나누어 합산합니다.
d(x,y)=Σᵢ |xᵢ−yᵢ| / (|xᵢ|+|yᵢ|)
분모가 0인 항은 통상 0으로 처리합니다. 0 근처의 상대적 차이에 민감할 수 있습니다.
민코프스키 거리 Lp
Minkowski · 민코프스키
맨해튼과 유클리드의 상위 공식. 지수 p를 변경해 다양한 거리를 표현합니다.
dₚ(x,y)=[Σᵢ|xᵢ−yᵢ|ᵖ]¹/ᵖ
p=1 맨해튼 · p=2 유클리드 · p→∞ 체비셰프
암기법: 맨해튼 = 모두 더하기 / 체비셰프 = 최댓값 / 캔버라 = 비율 / 민코프스키 = p값으로 통합.
04 / VISUAL EXAMPLE
직선으로 갈까, 격자를 따라 갈까?
A=(1,1), B=(4,5)일 때 Δx=3, Δy=4입니다.
파란 실선 = 유클리드 / 주황 점선 = 맨해튼
① 유클리드 = 5
√(3²+4²)=√25=5
② 맨해튼 = 7
|3|+|4|=7
③ 체비셰프 = 4
max(3,4)=4
④ 민코프스키
p=1이면 7, p=2이면 5. p를 변경하면 두 거리와 체비셰프 사이의 관계를 이해할 수 있습니다.
05 / BINARY SETS
자카드: 두 집합이 얼마나 겹치는가?
0/1 특성에서 둘 다 1인 항목을 중요하게 평가합니다.
자카드 계수 · Jaccard similarity
자카드 시밀래러티
J(A,B)=|A∩B| / |A∪B|
교집합: 두 집합에 모두 존재하는 항목
합집합: 하나라도 존재하는 항목
공통으로 0인 항목은 유사도 계산에서 제외합니다. 둘 다 1인 속성이 중요할 때 유용합니다.
자카드 거리 · Jaccard distance
자카드 디스턴스
dJ(A,B)=1−J(A,B)
유사도가 1이면 동일한 집합이며 거리 0.
유사도가 0이면 겹침이 없어 거리 1.
코사인과 달리 벡터의 각도보다는 항목의 포함·미포함 관계에 초점을 둡니다.
관광 서비스 선호 항목 비교
예제| 선호 서비스 | 문화체험 | 로컬푸드 | 해양레저 | 웰니스 | 야간관광 |
|---|---|---|---|---|---|
| 관광객 A | 1 | 1 | 0 | 1 | 0 |
| 관광객 B | 1 | 0 | 1 | 1 | 0 |
교집합 |A∩B|2개
합집합 |A∪B|4개
자카드 유사도0.50
자카드 거리0.50
보충: 원문은 ‘범주형 변수’ 아래 자카드·코사인을 배치하지만, 자카드는 특히 이진/집합 자료에, 코사인은 문서 단어빈도처럼 수치 벡터에도 사용됩니다.
06 / VECTOR SIMILARITY
코사인: 길이가 아니라 방향의 유사성
문서·키워드 빈도 벡터처럼 차원이 많은 자료의 유사도를 측정할 때 활용합니다.
코사인 유사도
Cosine similarity · 코사인 시밀래러티
cos(A,B)=(A·B)/ (‖A‖₂ ‖B‖₂)
A·B: 같은 위치의 값을 곱해 더한 내적
‖A‖₂: A 각 항목의 제곱합에 제곱근
각도가 작을수록(방향이 비슷할수록) 유사도가 커집니다. 값이 음수가 없는 단어빈도 벡터에서는 0~1 범위입니다.
코사인 거리
Cosine distance · 코사인 디스턴스
dcos(A,B)=1−cos(A,B)
코사인 유사도가 1이면 같은 방향이므로 거리는 0입니다.
자주 헷갈리는 지점: 유클리드는 벡터 끝점 사이의 거리를 보지만, 코사인은 벡터 사이의 각도를 봅니다. 1−코사인 유사도는 관례상 ‘코사인 거리’라고 부르지만 일반적으로 수학적 거리 공리를 모두 만족하는 것은 아닙니다.
07 / WORKED EXAMPLE
코사인 거리 계산 · 교재 예제 완전 풀이
문서 A=[1,0,5], 문서 B=[4,7,3]의 단어 등장 횟수를 비교합니다.
| 문서 | 단어 1 | 단어 2 | 단어 3 | 벡터 |
|---|---|---|---|---|
| 문서 A | 1 | 0 | 5 | [1, 0, 5] |
| 문서 B | 4 | 7 | 3 | [4, 7, 3] |
STEP 1 · 내적
19
1×4 + 0×7 + 5×3
→
STEP 2 · A의 길이
√26
√(1²+0²+5²) ≈ 5.099
→
STEP 3 · B의 길이
√74
√(4²+7²+3²) ≈ 8.602
코사인 유사도
19 / (√26 × √74) ≈ 0.4333
문서 간 방향의 유사성을 나타냅니다.
코사인 거리
1 − 0.4333 ≈ 0.5667
소수 둘째 자리로 반올림하면 0.57입니다.
정답: 약 0.57. 교재의 결과와 일치하며, 분모는 2개 벡터의 유클리드 노름(길이)의 곱입니다.
08 / PREPROCESSING & R
표준화 vs 정규화 · R dist() 사용법
거리 비교 전 데이터의 단위가 다를 때는 전처리를 고려합니다.
표준화 · Standardization
z=(x−μ)/σ
평균 0 · 표준편차 1이 되도록 변환합니다.
예: 키(cm), 몸무게(kg)처럼 단위가 다른 변수를 함께 분석할 때.
변수별 변동성을 표준편차 단위로 비교합니다. 이상치에 민감할 수 있습니다.
최소–최대 정규화 · Min–max
x′=(x−min)/(max−min)
관측 데이터 범위를 0~1로 조정합니다.
최솟값이 0, 최댓값이 1로 대응됩니다(최댓값≠최솟값일 때).
정규화(normalization)는 더 넓은 용어이지만, 본 교재의 0~1 정규화는 최소–최대 변환을 의미합니다.
R: 기본 거리 계산
df <- data.frame(x=c(1,4,7), y=c(2,6,8))
dist(df, method="euclidean")
dist(df, method="manhattan")
dist(df, method="maximum")
R: 표준화 후 거리 계산
df_z <- scale(df)
dist(df_z, method="euclidean")
# 그 밖에: "canberra", "binary", "minkowski"
dist(df, method="minkowski", p=3)
주의: dist()의 "binary"는 비대칭 이진 거리(Jaccard형)를 계산하는 옵션이며, 코사인 거리나 마할라노비스 거리를 기본 method로 제공하지 않습니다.
09 / PAST EXAM QUESTIONS
ADsP 기출 실전 퀴즈 ① · 18회 · 31회
정답을 선택하면 즉시 해설을 확인할 수 있습니다. 정답 공개 전에는 한 번 직접 풀어보세요.
18회 기출 · 39번
유사도 측도에 대한 설명으로 부적절한 것은?
정답 ④. 마할라노비스는 공분산행렬을 사용하여 변수 간 상관성을 반영하므로, 상관성을 고려해야 하는 상황에서 유용합니다.
31회 기출 · 40번
변수 간 상관성을 고려하여 두 데이터의 통계적 거리를 계산하는 방법은?
정답 ③. 상관성을 반영하는 통계적 거리는 마할라노비스 거리입니다. 코사인 유사도는 벡터의 방향을 중심으로 비교합니다.
기출 키워드: ‘두 점의 최단 직선거리’ → 유클리드 / ‘각 축의 절댓값 차이 합’ → 맨해튼 / ‘상관관계·공분산’ → 마할라노비스.
개념 체크 A
서로 다른 측정 단위를 보정하려면?
표준화 → 유클리드
개념 체크 B
여러 변수의 상관성까지 고려하려면?
마할라노비스
10 / PAST EXAM & WRAP-UP
ADsP 기출 실전 퀴즈 ② · 36회 · 39회
마지막에는 4문항 정답을 한 번에 확인하세요.
36회 기출 · 41번
다음 수식에 해당하는 거리 측도는? d(x,y)=Σ|xᵢ−yᵢ|
정답 ④. 절댓값 차이의 합은 맨해튼 거리입니다. 캔버라는 각 차이를 절댓값 합으로 나누어 계산합니다.
39회 기출 · 42번
A=(키 180, 몸무게 65), B=(키 175, 몸무게 70)의 유클리드 거리는?
정답 ④. √[(180−175)²+(65−70)²] = √(25+25) = √50 ≈ 7.07. 교재 OCR에서 기호가 깨진 선택지는 수치에 맞게 다시 구성했습니다.
최종 정답표
39번 · 18회④
40번 · 31회③
41번 · 36회④
42번 · 39회④
10초 암기 문장
직선 유클리드 · 축 합 맨해튼 · 표준편차 표준화 · 상관성 마할라노비스 · 집합 겹침 자카드 · 벡터 방향 코사인
자료 기준: 사용자가 제공한 「PART 03, 5장 정형 데이터 마이닝」 449~451쪽 발췌문. 시험 원문 중 OCR로 훼손된 기호·수식은 수학적으로 정확하게 복원했습니다.