PART 03 · 데이터 분석 · 제4장 통계분석

주성분분석(PCA) 결과해석
이론을 보고, 그래프를 읽고, 기출을 푼다

교재 337–340쪽 · R의 USArrests 실제 데이터 50개 주를 활용한 시각화 교안. 변수 간 관계 → 설명분산 → 적재량 → 점수 → 행렬도 순서로 학습한 뒤 기출 65·66번을 좌우로 넘겨 풉니다. · 각 이론 탭마다 핵심 원리를 보여주는 4컷 만화와, 만화 바로 아래 자연스럽게 말로 풀어가는 설명을 담았습니다.

기준 자료 1973년 미국 50개 주이론 7개 주제기출 2문항오프라인 사용 가능

4개 → 2개

원래 변수 → 대표 주성분

86.75%

PC1+PC2 누적 설명분산

13.25%

2개 주성분 선택 시 정보 손실

50개 주

USArrests 관측 대상

STEP 01 · 개념부터 실데이터까지

이론 시각화 학습

탭을 바꾸면 해당 결과의 의미·그래프·R 코드가 함께 표시됩니다.

교재 pp. 337–339

337쪽 · 주성분분석 결과의 전체 흐름

여러 숫자를 적은 수의 ‘대표 축’으로 바꿔서 읽기

주성분은 관측치가 아닌 새로운 변수

Murder살인 · 인구 10만 명당

Assault폭행 · 인구 10만 명당

UrbanPop도시 거주 인구 비율 · %

Rape강간 · 인구 10만 명당

➜

⚙️
표준화 + PCA단위 차이를 맞추고 분산이 큰 방향부터 추출

➜

PC1 · 62.0%전체적인 강력범죄 수준과 관련된 축

PC2 · 24.7%도시화와 범죄 지표의 상대적 대비 축

왜 표준화할까?

Assault는 수백 단위, Murder는 한 자릿수~십수 단위이며 UrbanPop은 %입니다. 그대로 분산을 비교하면 단위가 큰 변수가 지배할 수 있으므로 상관행렬 기반 PCA(각 변수 표준화)를 사용합니다.

z = (원래 값 − 변수 평균) / 변수 표준편차

주성분의 핵심 규칙

PC1은 분산이 가장 큰 방향이고, PC2는 PC1과 직교(상관 0)하면서 남은 분산을 최대한 나타냅니다. PC3·PC4도 순서대로 구할 수 있습니다.

암기: 상관 0은 일반적으로 ‘완전한 통계적 독립’과 같지 않습니다.

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 주성분분석의 출발점 · 4개의 변수에서 2개의 대표 축으로

원리 → 그림 → 핵심

이름이 다른 변수를 같은 기준으로 비교한 뒤, 변동을 가장 잘 보여주는 방향을 찾습니다.

1자료 등장

“숫자표가 서로 달라요!”

Murder·Assault·UrbanPop·Rape는 단위와 범위가 달라 그대로 비교하기 어렵습니다.

2표준화

“먼저 같은 출발선으로!”

각 변수에서 평균을 빼고 표준편차로 나누어 z값으로 바꿉니다.

3제1주성분

“가장 많이 퍼진 방향 발견!”

PC1은 표준화된 자료의 분산이 최대가 되는 방향입니다.

4제2주성분

“새 축은 PC1과 수직!”

PC2는 PC1과 직교하며 남은 분산을 가장 많이 나타냅니다.

★ 핵심 기억: 표준화는 단위 차이를 맞추고, PC1은 최대 분산 방향, PC2는 PC1과 직교하는 다음 방향입니다.

학습 포인트: 원래 4개 차원 → 선택한 2개 차원참고: PC1·PC2의 이름은 수치의 패턴을 보고 해석하는 설명용 명칭입니다.

337쪽 · pairs(USArrests)

산점도: 두 변수가 실제로 같이 움직일까?

X축 Y축

● 각각 미국 1개 주 · 점 위에 마우스를 올리면 주 이름과 수치가 나옵니다.

현재 두 변수의 피어슨 상관계수

+0.070거의 선형 관계가 보이지 않음

Murder와 UrbanPop의 상관은 거의 0에 가까워 선형적인 관계가 약합니다.

쉽게 이해하기
점들이 우상향으로 모이면 양의 관계, 우하향으로 모이면 음의 관계, 방향이 흩어지면 선형 관계가 약합니다. 상관계수가 작다고 비선형 관계도 없다고 결론 내리면 안 됩니다.

data(USArrests) pairs(USArrests, panel=panel.smooth, main="USArrests data")

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 산점도 원리 · 점이 모이는 방향에서 상관관계를 읽기

원리 → 그림 → 핵심

두 변수의 점 배치로 양의 상관·음의 상관·약한 선형 상관을 구별합니다.

1두 변수 비교

“한 주가 점 하나예요!”

가로축 Murder, 세로축 UrbanPop처럼 변수 두 개를 골라 점을 찍습니다.

2뚜렷한 방향

“점들이 함께 올라가네!”

우상향이면 대체로 양의 선형 상관, 우하향이면 음의 선형 상관입니다.

3교재의 사례

“이번 점들은 흩어져요!”

Murder–UrbanPop의 피어슨 상관은 약 +0.07로 선형 관계가 매우 약합니다.

4해석 주의

“상관만으로 원인은 몰라요!”

r≈0이 비선형 관계 없음이나 인과관계 없음까지 증명하지는 않습니다.

★ 핵심 기억: 산점도는 방향과 퍼짐을 확인하는 도구입니다. 상관계수는 선형 관계를 수치로 요약합니다.

337쪽 · summary()와 screeplot()

설명분산: 몇 개의 주성분을 남길까?

막대 = 각 PC가 따로 설명하는 분산 · 선 = 앞의 PC를 차례대로 더한 누적 설명분산. 현재 선택한 PC 개수는 진하게 표시됩니다.

유지할 주성분 개수2개

누적 설명86.75%

정보 손실13.25%

필요한 설명분산 목표로 생각하기

목표 누적 설명분산

US.prin <- princomp(USArrests, cor=TRUE) summary(US.prin) screeplot(US.prin, npcs=4, type="lines")

지표	PC1	PC2	PC3	PC4
Standard deviation	1.575	0.995	0.597	0.416
Proportion of Variance	0.6201	0.2474	0.0891	0.0434
Cumulative Proportion	0.6201	0.8675	0.9566	1.0000

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 Summary·Scree 원리 · 설명분산과 누적 설명분산

원리 → 그림 → 핵심

주성분 하나의 비율과 여러 주성분을 합친 비율을 반드시 구별합니다.

1개별 비율

“PC1 하나는 62.0%!”

PC1=62.0%, PC2=24.7%로 각 막대는 주성분 각각이 설명하는 비율입니다.

2누적 비율

“두 개를 합치면 86.75%!”

PC1과 PC2를 사용하면 정밀 비율을 합산한 설명량은 약 86.75%입니다.

3정보손실

“남기지 못한 몫도 있어요!”

주성분 2개로 줄이면 전체 분산 중 약 13.25%는 표현되지 않습니다.

4선택 기준

“80% 목표면 두 개로 충분!”

설명분산 목표와 해석 용이성 등을 고려해 주성분 개수를 선택합니다.

★ 핵심 기억: 개별 설명량은 Proportion, 선택한 축들의 합은 Cumulative, 손실은 100%−누적 설명량입니다.

338쪽 · loadings(US.prin)

Loading: 각 주성분은 어떤 변수로 만들어질까?

Loading은 원래 변수가 새로운 축에 얼마나, 어느 방향으로 반영되는지 나타내는 가중치입니다. 아래 막대는 0을 기준으로 양(+)은 청록, 음(−)은 주황으로 표시합니다.

PC1: 4개 모두 같은 방향(+)으로 참여

PC1 ≈ 0.536·zMurder + 0.583·zAssault
　　 + 0.278·zUrbanPop + 0.543·zRape

Assault, Rape, Murder의 비중이 크고 UrbanPop 기여는 상대적으로 작습니다.

PC2: 살인·폭행(+) ↔ 도시인구·강간(−)

PC2 ≈ 0.418·zMurder + 0.188·zAssault
　　 − 0.873·zUrbanPop − 0.167·zRape

PC2에서는 UrbanPop의 음(−)의 계수가 크므로, 도시인구 비율이 높은 주는 다른 조건이 같다면 PC2 점수가 내려갑니다.

시험에서 꼭 구별: Loading의 절댓값은 가중치의 상대적 크기, 부호는 축 위 방향입니다. 전체 주성분의 부호는 한꺼번에 뒤집혀도 분석의 본질이 같습니다. 제곱한 Loading의 합은 각 PC마다 1입니다(상관행렬 기반 PCA 고유벡터).

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 Loading 원리 · 새 축의 방향을 정하는 가중치

원리 → 그림 → 핵심

적재계수의 절댓값은 기여 크기, 부호는 축에서의 방향을 나타냅니다.

1가중치

“변수마다 힘이 달라요!”

PC1은 4개 변수의 표준화값에 각각 가중치를 곱해 합한 축입니다.

2방향

“PC2는 +와 −가 갈라져요!”

Murder·Assault는 양(+), UrbanPop·Rape는 음(−)의 가중치입니다.

3크기

“큰 절댓값이 더 크게 작용!”

PC2에서 UrbanPop의 계수는 약 −0.873으로 절댓값이 가장 큽니다.

4부호의 자유

“축을 뒤집어도 같은 분석!”

한 주성분의 모든 적재계수와 점수 부호를 함께 바꾸어도 분산 설명력은 같습니다.

★ 핵심 기억: Loading은 변수의 가중치·방향이며 Score는 관측치의 위치입니다. 적재계수의 절댓값과 부호를 구별하세요.

338쪽 · US.prin$scores

Scores: ‘한 개 주’의 4개 변수값을 PC 좌표로 바꾼 결과

주(State) 선택

PC1 score · 전체 강력범죄 수준 관련 축+0.986

PC2 score · 도시화 대비 축+1.133

Alabama 변수별 표준화값

표준화값 z가 크면 해당 변수가 50개 주 평균보다 크다는 의미입니다. PC 점수는 이 z와 Loading을 곱한 뒤 더해서 구합니다.

숫자 예시: Alabama
PC1 ≈ +0.986, PC2 ≈ +1.133 (교재의 princomp(cor=TRUE) 결과). 이 주를 PC1–PC2 평면에 점으로 찍을 수 있습니다.

US.prin <- princomp(USArrests, cor=TRUE) loadings(US.prin) US.prin$scores

방법상 유의
동일 데이터라도 princomp(cor=TRUE)와 prcomp(scale.=TRUE)는 PC 점수 크기에 미세한 차이가 날 수 있습니다(표준편차의 분모 차이). 축의 부호도 구현에 따라 바뀔 수 있습니다. 이 화면의 점수는 교재 princomp 관례에 맞췄습니다.

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 Scores 원리 · 한 주의 데이터를 새로운 좌표로

원리 → 그림 → 핵심

Loading이 변수의 가중치라면, Score는 각 관측치가 얻은 새 좌표입니다.

1원자료

“앨라배마에는 숫자 네 개!”

각 주마다 Murder·Assault·UrbanPop·Rape 원래 측정값이 있습니다.

2표준화

“평균과 얼마나 다를까?”

변수별 평균과 표준편차를 이용해 각 숫자를 z값으로 변환합니다.

3가중합

“z값에 Loading을 곱해 더해요!”

해당 주의 PC 점수는 표준화값과 고유벡터 계수의 곱을 합해 계산합니다.

4좌표 완성

“앨라배마 점은 여기!”

교재의 princomp 부호 기준: PC1≈0.986, PC2≈1.133입니다.

★ 핵심 기억: 주성분 점수 = Σ(표준화값 × 해당 주성분의 Loading). 관측치마다 다른 점수를 얻습니다.

339쪽 · biplot(arrests.pca, scale=0)

Biplot: 50개 주의 위치와 4개 변수의 방향을 한 장으로 보기

● 주 = PC1·PC2 점수, → 화살표 = 변수의 적재 방향. 가독성을 위해 화살표 길이는 그림에 맞게 공통 배율로 조정했습니다. R 기본 biplot과 시각적 축 비율은 다를 수 있습니다.

주 하나를 골라 그래프에서 강조하기

읽는 순서
① 점 위치를 본다 → ② 변수 화살표 방향을 본다 → ③ 같은 방향에 있는 점은 해당 변수값이 높은 경향이 있다 → ④ 원점 근처의 차이는 과장하지 않는다.

arrests.pca <- prcomp( USArrests, center=TRUE, scale.=TRUE ) biplot(arrests.pca, scale=0)

해석 시 주의: 이 그림은 전체 변동의 86.75%만 표현합니다. 변수를 PC1·PC2에 투영한 근사적인 관계이지, 개별 주의 범죄율이나 인과관계를 확정하는 그림은 아닙니다. 예: UrbanPop(도시인구 비율)은 범죄 발생 수가 아닙니다.

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 Biplot 원리 · 점과 화살표를 동시에 해석하기

원리 → 그림 → 핵심

관측치의 PC 점수와 변수의 적재 방향을 같은 평면에 표현한 그림입니다.

1점 읽기

“주 하나가 점 하나!”

미국 50개 주가 PC1–PC2 좌표에 표시됩니다.

2화살표 읽기

“화살표는 변수 방향이에요!”

네 화살표는 각 변수가 PC 평면에서 향하는 방향을 보여줍니다.

3점과 방향

“같은 방향이면 높은 경향!”

변수 화살표 쪽으로 투영되는 점들은 해당 표준화값이 큰 경향이 있습니다.

4해석 한계

“남은 13.25%도 기억!”

2차원 그림은 86.75%만 보유하므로 근사이며, 인과관계를 입증하지 않습니다.

★ 핵심 기억: Biplot에서는 점=관측치, 화살표=변수, 가까운 방향=높은 값의 경향. 2차원 투영의 한계를 함께 읽습니다.

337–339쪽 · 개념 연결 만화

4컷으로 정리: ‘네 가지 점수표를 두 개 축으로 압축하다’

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 전체 과정 4컷 복습 · 자료에서 해석까지

원리 → 그림 → 핵심

USArrests 자료를 PCA로 해석하는 절차를 하나의 이야기로 정리합니다.

1원자료

“50개 주, 변수는 네 개!”

각 주에 네 변수가 있으므로 처음에는 비교할 축이 많습니다.

2표준화

“단위를 공평하게 맞춰요!”

상관행렬 기반 PCA에서는 원변수를 z값으로 바꿔 분석합니다.

3축 선택

“PC1 + PC2 = 86.75%!”

설명량을 확인하고 목적에 맞게 남길 축 개수를 고릅니다.

4결과 해석

“적재량과 점수를 같이 봐요!”

Loading=변수의 방향·가중치, Score=주별 좌표, Biplot=두 가지를 연결합니다.

★ 핵심 기억: 분석 흐름: 원자료 → 변수 표준화 → 주성분 축 선택 → Loading·Score·Biplot 해석.

한 문장 요약

주성분분석은 표준화한 여러 변수의 변동을 상관없는 새로운 축으로 요약하고, 각 축의 설명분산·적재량·점수를 해석하는 방법입니다.

구별해서 기억할 용어

Variance ratio=축이 설명하는 정보량 · Loading=변수별 가중치 · Score=주별 좌표 · Biplot=좌표와 가중치를 함께 표현한 그림.

STEP 02 · 시험 문제를 옆으로 넘기며 연습

기출문제 실전 풀이

각 장의 상단에는 관련 이론 그림, 하단에는 문제 → 선택 → 해설 → 4컷 복습을 배치했습니다.

교재 p. 340

기출 65번 오답 찾기

각 PC 설명량과 누적 설명량의 차이

문제 1 / 2

먼저 그림으로 개념 확인

PC1 61.8%

PC2 12.8%

PC3 11.9%

각 주성분의 개별 설명분산: PC1=61.8%, PC2=12.8%, PC3=11.9%.

2개 축은 더하기, 3개 축도 더하기

PC1 + PC2 = 61.8 + 12.8 = 74.6%
PC1 + PC2 + PC3 = 86.5%

2개 축 사용 시 정보손실 = 25.4%
3개 축 사용 시 정보손실 = 13.5%

핵심 규칙: ‘몇 개 축을 쓴다’ → Cumulative Proportion을 확인!

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 기출 65번의 원리 · 개별과 누적 비율의 차이

원리 → 그림 → 핵심

문제의 핵심은 PC2의 12.8%를 PC1+PC2의 74.6%와 혼동하지 않는 것입니다.

1개별 설명량

“PC2 혼자는 12.8%!”

PC1=61.8%, PC2=12.8%, PC3=11.9%는 각 축만의 설명량입니다.

2두 축 합계

“두 개를 쓰면 74.6%!”

61.8% + 12.8% = 74.6%이므로 두 축이 12.8%만 설명한다는 문장은 틀립니다.

3세 축 합계

“세 개면 86.5%예요!”

100%−86.5%=13.5%로 정보손실이 20% 이하가 됩니다.

4정답 확정

“②번이 부적절한 설명!”

PC2 하나의 설명량과 PC1·PC2 누적 설명량을 구분해야 합니다.

★ 핵심 기억: 65번 정답 ②: PC2의 12.8%는 개별, PC1+PC2의 74.6%는 누적 비율입니다.

65. 다음 중 주성분분석 결과의 특징과 부합하지 않는 설명은?

1988 서울올림픽 여자 육상 7종경기 결과를 활용한 PCA. 문제에 제시된 주요 비율: PC1 0.618 / PC2 0.128 / PC3 0.119 / 누적 2개 0.746 / 누적 3개 0.865.

선택지를 누른 다음 정답을 확인해보세요.

정답: ② · 12.8%는 PC2 하나만의 설명분산입니다. 두 개의 주성분을 함께 사용하면 61.8% + 12.8% = 74.6%를 설명합니다.

① 맞음 PC1 = 61.8%② 틀림 2개 합계 = 74.6%③ 맞음 100−86.5 = 13.5%④ 맞음 PC1은 최대 분산

1🥇

첫 번째 축만 고르면?전체 정보 중 61.8%를 설명해요.

2➕

두 번째 축도 더해요!PC2가 12.8%를 추가로 설명해요.

3🧮

두 축을 합치면?61.8 + 12.8 = 74.6%. 누적비율이 중요해요.

4✅

80% 이상이 목표라면?PC3까지 쓰면 86.5%여서 통과!

자료 점검: 제공된 65번 인식본의 PC4 표준편차와 누적비율 등 일부 수치는 서로 완전히 맞지 않을 수 있습니다. 이 문제의 정답 판정에는 명확하게 제시된 PC1–PC3 설명분산과 누적비율을 사용했습니다.

기출 66번 · 38회 설명분산 읽기

Proportion과 Cumulative 구분하기

문제 2 / 2

먼저 그림으로 개념 확인

표에서 1행을 똑바로 찾으면 정답

PC1 57.48%

PC2 23.21%

PC3 18.35%

문항에 적힌 Proportion of Variance 행을 기준으로 그린 비율입니다.

세 가지를 혼동하지 말기

Standard deviation
각 주성분의 표준편차

Proportion of Variance
각 PC가 개별적으로 설명하는 비율

Cumulative Proportion
PC1부터 현재 PC까지 더한 비율

핵심 원리 · 4컷 만화

🎨 기출 66번의 원리 · 정확한 행 읽기와 백분율 변환

원리 → 그림 → 핵심

개별 주성분을 물으면 Proportion 행을 읽고, 백분율로 바꿔야 합니다.

1대상 찾기

“어떤 PC를 물었나요?”

첫 번째 주성분을 물으므로 Comp.1 열을 확인합니다.

2지표 찾기

“Proportion 행을 읽어요!”

첫 번째 주성분의 분산 설명 비율은 문제 표에서 0.5748331로 제시됩니다.

3백분율

“100을 곱하면 57.48331%!”

0.5748331 × 100 = 57.48331%입니다.

4문항 검토

“선택지 ③, 반올림은 57.5%!”

선택지의 57.48%는 둘째 자리 표기입니다. 첫째 자리 지시와 일치하지 않는 점을 확인하세요.

★ 핵심 기억: 66번 선택지 정답 ③: 비율 0.5748331은 57.48331%, 첫째 자리로 반올림하면 57.5%입니다.

66. 첫 번째 주성분은 전체 분산의 몇 %를 설명하는가?

제시된 표: PC1 Proportion of Variance = 0.5748331, PC2 = 0.2321003, 누적 PC2 = 0.8069334. (문항에는 ‘소수점 첫째 자리까지’라는 표현이 있음.)

선택지를 누른 다음 정답을 확인해보세요.

정답: ③ (선택지 기준)
0.5748331 × 100 = 57.48331% → 소수점 둘째 자리까지 표시하면 57.48%입니다. 따라서 제시된 선택지 중 ③이 맞습니다.

반올림 주의: 문제의 문구대로 소수점 첫째 자리까지 반올림하면 57.5%가 됩니다. 선택지 ③(57.48%)은 소수점 둘째 자리 표기라서 문구와 불일치합니다.

수치 일관성 주의: 제공된 표의 표준편차(1.5574873, 0.9943214, 0.5943221, 0.4123679)를 제곱해 계산한 비율과 제시된 Proportion of Variance 행이 서로 맞지 않습니다. 여기서는 문제에서 명시한 Proportion 행과 선택지에 따라 답합니다. 원자료나 원문 표 대조가 필요합니다.

1🔍

어느 PC를 묻지?‘첫 번째 주성분’ → PC1 열을 찾아요.

2📑

어느 행을 읽지?‘전체 분산 몇 %?’ → Proportion 행.

3✖️

소수를 %로!0.5748331 × 100 = 57.48331%.

4🎯

정답과 형식 확인!선택지 ③, 단 첫째 자리 반올림은 57.5%.

마우스로 버튼 클릭 · 터치 좌우 스와이프 · 문제 영역에서 키보드 ← / → 이동

자료 및 계산 안내
이론·문항 구조: 사용자 제공 교재 내용(pp. 337–340). USArrests 50개 주 실제 관측값: R datasets::USArrests (공개 CSV 출처). 설명분산·상관계수·Loading은 상관행렬 PCA에서 다시 계산했습니다. PC 점수 시각화는 R 함수별 표준화 관례를 구분하여 사용했습니다. 이 자료는 1973년 미국의 역사적 자료이며 현재 상황을 나타내지 않습니다.
학습용 시각화로, 원문 R 출력과의 대조를 권장합니다. © 수업용 오프라인 HTML