1
확률·덧셈 정리Probability · Addition Rule
p.247확률표본공간사건합집합교집합
🎲 ① ② ③ ④ ⑤ ⑥
짝수(②④⑥)는 6개 중 3개3/6= 50%
확률은 ‘어떤 일이 생길 가능성’이에요. 표본공간은 모든 결과, 사건은 우리가 찾는 결과예요. ‘A 또는 B’는 합집합, ‘A와 B 모두’는 교집합이에요.
💛 둘 다 해당하는 결과는 한 번만 세요. 3개 + 3개 − 겹친 2개 = 4개!
00 / LEARNING OBJECTIVES
오늘의 학습목표
확률과 확률분포 · 교재 p.247~255 · 그림을 보고 말로 설명할 수 있으면 성공!
이번 수업을 마치면 다음 6가지를 할 수 있어요.
- ✓확률과 덧셈 정리 — 주사위 그림을 보고 사건의 확률과 겹치는 부분을 계산한다.
- ✓조건부확률·독립 — 전체에서 조건에 맞는 사람만 골라 확률을 구하고 독립을 설명한다.
- ✓PMF·PDF·CDF — 막대, 면적, 누적 그래프가 나타내는 뜻을 구별한다.
- ✓기댓값·분산 — ‘평균적으로 얼마인지’와 ‘얼마나 퍼졌는지’를 예시로 설명한다.
- ✓이산형·연속형 분포 — ‘횟수를 세는 상황’과 ‘시간·길이를 재는 상황’에 맞는 분포를 고른다.
- ✓기출문제 풀이 — 5~10번 문제의 답을 고르고, 왜 그런지 그림·수식으로 설명한다.
🧒 초등학생 눈높이로 말하면? “얼마나 자주 일어날까?”를 알아보고, 눈으로 세고 · 비교하고 · 예상하는 공부예요.
그림으로 익히는 6가지 핵심 개념
파란 글씨 = 꼭 알아야 할 키워드 · 노란색 = 시험에서 기억할 한 문장
→
2
조건부확률·독립Conditional Probability · Independence
p.247조건부확률분모독립배반
👥 100명
전체 사람👤 40명
A 조건에 맞는 사람20/40그중 B도 해당
조건부확률은 ‘A라는 사실을 이미 알고 있을 때 B가 일어날 가능성’이에요. 그래서 전체 100명 대신 A인 40명만 기준으로 계산해요. 독립은 한쪽 결과가 다른 쪽 확률을 바꾸지 않는다는 뜻이에요.
💛 조건이 생기면 ‘누구를 전체로 셀지(분모)’가 달라져요. 배반과 독립은 달라요.
3
PMF·PDF·CDFMass · Density · Cumulative Distribution
p.247–249확률변수이산형연속형PMFPDFCDF
▂▆▂
PMF: 막대의 값∩
PDF: 곡선 아래 면적▁▃▆█
CDF: 쌓여가는 확률확률변수는 결과를 숫자로 적는 규칙이에요. PMF는 주사위처럼 셀 수 있는 값의 확률, PDF는 키·시간처럼 연속된 값의 구간 확률을 나타내는 밀도, CDF는 어떤 값 ‘이하’가 될 확률을 차곡차곡 더한 것이에요.
💛 PMF = 막대 높이가 확률 / PDF = 면적이 확률 / CDF = 누적한 확률
4
기댓값·분산·표준편차Expected Value · Variance · SD
p.249–250기댓값평균분산표준편차
1 · 2 · 3
평균 2, 서로 가까워요0 · 2 · 4
평균 2, 더 멀리 퍼져요기댓값은 같은 일을 아주 많이 했을 때 평균적으로 기대하는 값이에요. 분산은 숫자들이 평균에서 얼마나 멀리 떨어지는지를 나타내고, 표준편차는 분산의 제곱근으로 원래 값과 같은 단위를 써요.
💛 평균이 같아도 숫자가 더 넓게 퍼져 있으면 분산이 더 커요!
5
이산형 확률분포Discrete Probability Distributions
p.250–252베르누이이항기하포아송
✅ / ❌
한 번 성공? 베르누이🎯 3/5
5번 중 3번? 이항⏳ 4번째
첫 성공까지? 기하📞 6통
1시간 동안? 포아송이산형은 0번, 1번, 2번처럼 횟수를 셀 때 써요. 베르누이는 성공·실패 한 번, 이항은 정해진 여러 번 중 성공 횟수, 기하는 첫 성공이 나올 때까지의 시행 횟수, 포아송은 일정 시간·공간 안에 발생한 횟수를 나타내요.
💛 핵심 질문: “한 번?”, “몇 번 성공?”, “첫 성공까지?”, “일정 시간에 몇 건?”
6
연속형 확률분포·문제풀이Continuous Distributions · Practice
p.252–255균일정규지수tχ²F기출풀이
▰
균일: 고르게🔔
정규: 가운데 많게🚌 2.7분
지수: 기다리는 시간연속형은 시간·길이처럼 사이사이 값도 잴 수 있을 때 써요. 균일은 같은 길이의 구간마다 같은 확률, 정규는 종 모양, 지수는 사건까지의 기다림이에요. t는 평균 검정, χ²는 범주별 빈도·분산 관련 검정, F는 분산 비교·분산분석에 쓰여요.
💛 기출문제는 ‘무엇을 세거나 재는가?’를 먼저 찾으면 쉬워요!
🎲 배반 vs 독립배반은 둘이 동시에 불가능. 독립은 한쪽이 다른 쪽의 확률에 영향을 주지 않음.
📈 PMF vs PDFPMF는 한 값의 확률을 읽음. PDF는 곡선 아래 구간의 면적을 읽음.
📏 평균 vs 분산평균은 중심 위치, 분산은 중심에서 퍼진 정도.
오늘의 한 줄 정리 · 가능성 알아보기 → 조건에 따라 다시 계산 → 그림으로 확률 읽기 → 평균과 퍼짐 비교 → 상황에 맞는 분포 선택 → 기출문제 해결
아래 이론 그림 보러 가기 ↓01 / CONCEPT VISUALIZATION
이론 시각화
개념 선택 → 시각자료 확인 → 공식과 예시 연결
전체 → 사건 A/B → 겹치는 부분벤다이어그램
3/6P(A)
3/6P(B)
4/6P(A ∪ B)
그림 따라 이해하기 주사위 1회 · p.247
① A = 짝수 눈
123456
6개 중 파란 3개 → P(A)=3/6
② B = 4 이상
123456
6개 중 노란 3개 → P(B)=3/6
③ A 또는 B
123456
4·6은 공통이므로 한 번만 셉니다.
💡 3개 + 3개 − 겹친 2개 = 4개 → P(A∪B)=3/6+3/6−2/6=4/6. 벤다이어그램의 가운데 겹친 부분을 빼는 이유입니다.
확률은 가능성의 크기
표본공간 Ω는 가능한 모든 결과의 집합, 사건 A는 그 부분집합입니다. 각 결과가 동일하게 가능할 때 결과 수의 비율로 확률을 계산합니다.
P(A) = n(A) / n(Ω)
동일한 가능성을 지닌 유한 표본공간에서 적용
사건 A와 B가 일부 겹치면 단순 합에서 겹치는 부분을 한 번 빼야 합니다.
P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- 합집합(∪): A 또는 B가 일어남
- 교집합(∩): A와 B가 동시에 일어남
- 배반사건: A ∩ B = ∅, 따라서 P(A ∩ B)=0
핵심 기억 · 배반은 동시에 일어날 수 없는 사건을 뜻합니다. 서로 다른 두 동전 앞·뒷면의 관계가 아니라, 한 번 던진 같은 동전의 앞면·뒷면을 생각하세요.
100명 중 A에 속하는 40명을 기준으로 보기조건 바꾸기
A만 20명A∩B 20명B만 10명
40/100P(A)
20/100P(A ∩ B)
20/40P(B | A)
분모가 바뀌는 장면 100명 → A인 40명 · p.247
전체 기준
100명
⬇️ ‘A가 일어났다’는 정보를 알게 되면, A가 아닌 60명은 계산에서 제외합니다.
A만 기준
40명
👆 A에 해당하는 40명 중 B도 해당하는 20명 → P(B|A)=20/40=0.5. 전체 중 B인 사람(30/100=0.3)과 다릅니다.
조건부 확률: 분모가 바뀐다
A가 이미 발생했음을 알 때, 전체 100명 대신 A에 속한 40명만을 기준으로 B의 확률을 계산합니다.
P(B | A) = P(A ∩ B) / P(A)
조건: P(A) > 0
P(A ∩ B) = P(A) × P(B | A)
- 독립사건: A가 발생해도 B의 확률이 달라지지 않음
- 독립이면 P(B | A)=P(B), 따라서 P(A ∩ B)=P(A)P(B)
- 배반과 독립은 서로 다른 개념입니다.
예시 · 이 그림은 P(B | A)=0.5, P(B)=0.3이므로 두 사건이 독립이 아닙니다. 베이즈 정리는 새로운 증거에 따라 사전확률을 수정하는 데 활용됩니다.
동전 2개: 결과 → 앞면의 개수 X이산형 예시
TTX=0
HTX=1
THX=1
HHX=2
P(X=0)=1/4 · P(X=1)=2/4 · P(X=2)=1/4
세 가지 그래프의 차이 PMF · PDF · CDF, p.247~249
🪙 동전 2개의 결과 TT · TH · HT · HH는 4가지이지만, 앞면 수 X는 0 · 1 · 2의 3가지입니다. X=1은 두 번 등장 → 막대 높이 2/4.
결과를 숫자로 바꾸는 함수
확률변수 X는 표본공간의 각 결과에 실수값을 대응시킵니다. X가 셀 수 있는 값을 갖는지, 연속된 구간 값을 갖는지에 따라 분포를 구분합니다.
▥
이산형 · PMF
특정 값마다 확률 부여
P(X=x) ≥ 0
ΣP(X=x)=1
⌒
연속형 · PDF
곡선 아래 면적이 확률
f(x) ≥ 0
∫f(x)dx=1
F(x) = P(X ≤ x)
CDF(누적분포함수): x 이하일 확률, 항상 0~1
- 연속형은 P(X=x)=0이며 구간 면적으로 확률을 계산합니다.
- 이산형에서 P(a<X≤b)=F(b)−F(a)
- 연속형에서는 끝점의 확률이 0이므로 P(a<X<b)=F(b)−F(a)
시험 함정 · 확률밀도 f(x)는 확률 그 자체가 아닙니다. 밀도값은 1을 초과할 수도 있지만, 전체 면적은 1입니다.
X = 동전 2개 중 앞면의 수평균과 퍼짐
1E(X)
0.5Var(X)
0.707SD(X), 근삿값
평균은 중심, 분산은 거리 p.249~250
0
확률 1/4평균 1에서 1만큼 왼쪽1
확률 2/4평균과 같은 위치2
확률 1/4평균 1에서 1만큼 오른쪽⚖️ 기댓값 0×¼+1×½+2×¼=1. 분산은 평균에서 떨어진 거리의 제곱 평균 (0−1)²×¼+(1−1)²×½+(2−1)²×¼=0.5. 따라서 표준편차는 √0.5≈0.707.
평균은 무게중심, 분산은 퍼짐
각 결과의 값에 그 결과가 발생할 확률을 곱해 합하면 기댓값입니다. 평균에서 얼마나 벗어났는지를 제곱해 평균하면 분산입니다.
E(X) = Σ x·P(X=x)
연속형: E(X) = ∫ x f(x) dx
Var(X) = E[(X−μ)²] = E(X²) − [E(X)]²
SD(X) = √Var(X)
SD(X) = √Var(X)
- E(aX+b) = aE(X)+b
- Var(aX+b) = a²Var(X) → b를 더해도 분산은 변하지 않음
- Var(X+Y) = Var(X)+Var(Y)+2Cov(X,Y)
- X, Y가 독립이면 Cov(X,Y)=0으로 분산이 더해짐
중요 공식 교정 · OCR에 나타난 Var(aX+b)=aVar(X)는 잘못된 식입니다. 반드시 a²가 곱해집니다.
아래 분포를 클릭하면 그래프와 공식이 바뀝니다직접 비교
성공과 실패를 그려 보세요 위 분포 버튼과 연동 · p.251~252
베르누이: 결과를 딱 한 번 확인
✓×
예약 상담 1건이 ‘성공(1)’인지 ‘실패(0)’인지 기록합니다.
그림 읽기: 가능한 결과는 오직 두 가지입니다.
🔍 네 분포 모두 셀 수 있는 결과(성공 횟수·시행 횟수·발생 횟수)를 다룹니다. 버튼을 눌러 ‘무엇을 세는지’를 비교하세요.
무엇을 세는가? 로 선택
🎯 베르누이 Bernoulli
한 번의 성공/실패
성공 여부 X∈{0,1}
🔢 이항 Binomial
독립 시행 n번의 성공 횟수
정해진 n 안에 k번 성공
⏳ 기하 Geometric
첫 성공까지 걸리는 시행 수
첫 성공은 몇 번째?
📞 포아송 Poisson
일정 시간·공간의 사건 발생 수
시간당 평균 λ건
기하분포 주의 · '첫 성공까지 시행 횟수'를 X로 정의하면 X=1,2,…이고, '첫 성공 전 실패 횟수'를 Y로 정의하면 Y=0,1,…입니다. 같은 현상을 세는 방식만 다릅니다.
관광 예시 · 예약 1건의 성사 여부(베르누이), 10건 중 성사 건수(이항), 첫 예약 성공까지 상담 횟수(기하), 시간당 안내센터 방문 수(포아송)
연속형 PDF는 곡선 아래 면적으로 확률을 계산합니다곡선 탐색
곡선을 이렇게 읽어요 분포 버튼으로 변화 확인 · p.252~254
세로축 = 밀도
곡선이 높다고 그 높이 자체가 확률은 아닙니다.
색칠한 면적 = 확률
특정 두 값 사이일 확률은 그 사이 넓이입니다.
균일분포 U(0,1): 0.2에서 0.6 사이의 면적은 0.4입니다.
전체 밀도선택한 구간의 확률 면적
💡 같은 PDF 그래프라도 진하게 칠해진 구간이 달라지면 확률도 달라집니다. 한 점의 확률 P(X=a)는 0이고, 두 값 사이의 면적으로 계산합니다.
연속된 값: 길이·시간·측정값
▱ 균일 Uniform
구간 [a,b]에서 일정한 밀도
🔔 정규 Normal
평균 μ를 중심으로 대칭
⏱ 지수 Exponential
다음 사건까지 기다리는 시간
📊 t 분포
모평균 추론·t 검정에 사용
📐 χ² 분포
범주형 적합도/독립성 검정 등
⚖️ F 분포
분산비·분산분석 등에 사용
필수 구분 · 기하분포는 시행 횟수(이산), 지수분포는 대기시간(연속)입니다. t·χ²·F는 특히 검정통계량의 분포로 중요합니다.
문제를 읽을 때 가장 먼저 물어볼 질문선택 흐름
상황을 그림으로 떠올리세요 출제빈출 구분법 · p.247~254
🪙한 번 던져 성공?
예/아니오 → 베르누이
🎯10번 중 몇 번 성공?
고정된 시행 횟수 → 이항
🕒첫 성공까지 몇 번?
시행 횟수 → 기하
📞1시간에 전화 몇 통?
사건 발생 횟수 → 포아송
⏳다음 전화까지 몇 분?
연속된 대기시간 → 지수
🔔평균 근처에 값이 몰림?
대칭 종 모양 → 정규
🧠 핵심 질문은 하나: 몇 번 일어났나?라면 이산형, 얼마나 걸렸나?라면 연속형을 우선 생각합니다. 단, 실제 현상과 모형의 가정도 확인해야 합니다.
출제 포인트 5가지
- 덧셈 정리: A∩B의 중복을 한 번 빼기
- 조건부 확률: P(B|A)의 분모는 P(A)
- 독립: P(B|A)=P(B), P(A∩B)=P(A)P(B)
- 이산형 기댓값: ΣxP(X=x)로 합산
- 분포 구분: 기하/이항은 이산, 지수/정규는 연속
원고 수식 확인 ① · Var(aX+b)=a²Var(X)입니다. 스캔/OCR에서 지수가 누락된 것으로 보이는 부분을 바로잡았습니다.
원고 표현 확인 ② · F(x)=P(X≤x)로 일관되게 표기했습니다. 이산형 구간에서는 < / ≤의 끝점 차이가 중요합니다.
원고 개념 확인 ③ · “모든 사건의 확률을 합하면 1”은 서로 배반이며 전체를 빠짐없이 포괄하는 사건들의 집합에 대해 성립합니다.
1 / 7
02 / PRACTICE & EXPLANATION
기출문제 풀이 · 좌우 넘김
① 답 선택 → ② 정답 확인 → ③ 해설 읽기 → ④ 다음 문제
문제 5 / 10교재 p.254기댓값
정답과 풀이해설 보기
✦
답을 선택하고 정답 확인을 누르면
풀이 과정과 핵심 공식을 볼 수 있습니다.
풀이 과정과 핵심 공식을 볼 수 있습니다.
풀이 완료 0 / 6 · 정답 0개
출처: 사용자가 제공한 교재 「PART 03 데이터 분석 · 4장 통계분석」 p.247–255 발췌 내용 · 문제 5~10번의 OCR 표기를 정돈해 수록 · 정답의 내용은 제공 원문의 정답표와 대조
활용 안내 · 인터넷 없이 열리는 단일 HTML 교안입니다. PC·태블릿·휴대폰에서 사용할 수 있으며, 교재의 본문 쪽수와 문제 쪽수를 각 화면에 표시했습니다. 일부 공식과 문장에는 원문 OCR 오류를 검토하여 바로잡은 표기를 적용했습니다. (쪽수는 제공된 발췌 텍스트의 페이지 경계를 기준으로 기재)