01 · 학습 목표와 전체 구조
상관분석, 무엇을 알아보는 방법일까?
두 변수의 함께 움직이는 방향과 관계의 정도를 수치와 그림으로 살펴본다.
교재 pp. 280–284
이번 시간에 익힐 네 가지
① 산점도 Scatter plot
점들을 찍어 두 변수의 관계 형태를 눈으로 확인한다.
② 공분산 Covariance
함께 움직이는 방향을 본다.
③ 상관계수 Correlation
방향과 강도를 −1부터 +1까지 나타낸다.
④ 가설검정 Significance
표본의 상관관계가 통계적으로 유의한지 살펴본다.
핵심: 상관관계는 함께 변하는 정도를 보여주지만, 한 변수가 다른 변수의 원인임을 증명하지는 않는다.
02 · 분석의 큰 그림
상관분석은 이 순서로 생각하면 쉽다
숫자 두 줄을 받으면, 바로 계수부터 구하지 말고 그래프를 먼저 본다.
교재 pp. 280–284
관찰 → 시각화 → 방향 → 강도 → 통계적 검토
🔢
자료 수집키와 몸무게방문객과 소비액
📍
산점도직선? 곡선?이상치?
↗
공분산양(+)인가음(−)인가
📏
상관계수−1 ~ +1얼마나 강한가
✓
가설검정p-value와신뢰구간 확인
💡
실제 분석에서 특히 중요한 질문
“둘이 관계가 있나?”뿐 아니라 “어떤 형태의 관계이며, 인과관계라고 볼 근거가 있는가?”도 구별해야 한다.
분석 순서: 산점도 확인 → 적절한 계수 선택 → 추정치·p값·신뢰구간 해석
03 · 독립변수·종속변수와 인과관계
함께 늘어난다고, 원인과 결과일까?
상관분석은 변수 간 연관성을 다룬다. 인과관계는 연구설계와 추가 근거가 필요하다.
교재 p. 280
관광지 방문객과 아이스크림 매출 사례
여름이라는 공통 요인 때문에 두 변수 모두 증가할 수 있다.
개념 구별
| 용어 | 의미 |
|---|---|
| 독립변수 X | 현상을 설명하거나 예측하기 위해 사용하는 변수 |
| 종속변수 Y | 설명·예측하려는 결과 변수 |
| 상관관계 | X와 Y가 함께 변화하는 경향 |
| 인과관계 | X의 변화가 Y를 변화시킨다는 관계 |
두 변수가 함께 증가하더라도 제3의 변수가 함께 영향을 주었을 수 있다.
상관계수는 X와 Y를 바꾸어 계산해도 같다. 따라서 상관계수만으로 독립·종속변수의 인과적 방향을 결정할 수 없다.
04 · 공분산 Covariance
공분산: 둘이 움직이는 방향을 살펴보자
각 값이 자기 평균보다 위인지 아래인지 비교하고, 그 편차를 곱한다.
교재 p. 281
평균선이 만나는 점을 기준으로
같은 방향의 편차 곱: + 반대 방향의 편차 곱: −
왜 편차를 곱할까?
예를 들어 X가 평균보다 크고 Y도 평균보다 크다면 두 편차의 곱은 양수(+)다. 이런 쌍이 많으면 공분산도 양수가 된다.
sXY = Σ[(xᵢ − x̄)(yᵢ − ȳ)] / (n−1)
+2.00
표본 공분산
단위·자료의 크기에 영향받음
같이 증가
양수라면 대체로 같은 방향,
음수라면 대체로 반대 방향
공분산으로는 방향을 볼 수 있지만, 숫자 크기만으로 다른 자료의 관계 강도를 직접 비교하기 어렵다.
서로 독립이면 공분산은 0(기댓값 등이 존재할 때). 그러나 공분산이 0이라고 반드시 독립인 것은 아니다.
05 · 피어슨 상관계수 Pearson's r
피어슨 r: 직선 형태의 관계를 측정한다
공분산을 각 변수의 표준편차로 나누면 단위에 영향을 받지 않는 계수가 된다.
교재 p. 282
패턴을 눌러 산점도 변화를 비교
−1에서 +1 사이의 숫자
r = sXY / (sX × sY)
계수 r
+1.000
부호
양 (+)
방향
함께 ↑
- r=+1: 모든 점이 우상향 직선 위에 있음
- r=−1: 모든 점이 우하향 직선 위에 있음
- r≈0: 선형 관계가 거의 없음
부호는 방향, 절댓값은 선형관계의 강도를 의미한다.
피어슨 r을 계산하는 데 정규분포가 반드시 필요한 것은 아니다. 다만 통상적인 p값·신뢰구간의 정확한 해석에는 표본 독립성, 분포 가정 등의 검토가 필요하다.
06 · Pearson vs Spearman
관계가 곡선이면 상관계수가 달라질 수 있다
피어슨은 선형관계, 스피어만은 순위의 단조적 관계를 중심으로 본다.
교재 p. 282
같은 X·Y를 다른 방식으로 해석하기
세 계수를 나란히 확인
Pearson r
1.000
Spearman ρ
1.000
Kendall τ
1.000
| 관계 | 해석 포인트 |
|---|---|
| 직선형 | 피어슨과 순위 계수 모두 높을 수 있다 |
| 단조 곡선형 | 계속 증가해도 직선이 아닐 수 있다 |
| U자형 | 분명한 관계가 있어도 상관계수는 0에 가까울 수 있다 |
스피어만의 단조(monotonic)란 X가 증가할 때 Y가 한 방향으로만 증가하거나 감소하는 패턴이다.
표시된 값은 화면의 교육용 예시 자료로 직접 계산한 값이다. 관계가 곡선이라고 모두 스피어만을 쓰는 것은 아니며, U자형은 두 계수 모두 포착하지 못할 수 있다.
07 · Pearson / Spearman / Kendall
자료 특성에 맞는 상관계수를 고르자
모든 관계를 하나의 숫자로 판단하지 않고, 자료의 척도와 패턴을 함께 고려한다.
교재 p. 282
세 방법의 핵심 원리
① Pearson r · 원래 수치의 직선 관계
예: 여행경비(원)와 여행일수(일). 수치 간의 선형 연관성 파악.
② Spearman ρ · 순위의 연관성
예: 관광지 인기 순위와 추천 순위. 원자료를 순위로 바꿔 계산한 피어슨 상관계수.
③ Kendall τ · 순서가 일치하는 쌍
예: 두 평가자가 매긴 호텔 순위. 순서가 일치하는 쌍과 불일치하는 쌍을 비교.
↗ ↘
켄달의 핵심
두 학생의 순위를 비교할 때, 호텔 A가 B보다 높은 순위라는 판단이 서로 일치하는지 확인한다.
간단한 선택표
| 상황 | 추천 검토 방법 |
|---|---|
| 연속형 수치, 선형 패턴 | 피어슨 r |
| 서열형 자료, 단조 패턴 | 스피어만 ρ |
| 작은 표본, 순위쌍 비교, 동률 고려 | 켄달 τ-b |
피어슨은 원래 값, 스피어만은 순위, 켄달은 두 대상의 순서 일치 여부에 초점을 둔다.
스피어만과 켄달은 모두 비모수적 순위 상관계수다. 작은 표본이나 동률 상황에서 켄달 τ-b가 유용할 수 있지만 언제나 더 우수한 것은 아니다.
08 · 상관계수 해석 연습
−1부터 +1까지 움직이며 패턴을 확인하자
슬라이더 또는 아래 예시 버튼을 조작하면 X 값은 그대로 두고 Y 값의 배열이 즉시 바뀐다. (두 축의 범위는 고정)
교재 p. 283
상관계수 직접 조절하기
표본 상관계수 r = +0.700 · 주황 점선은 선형 추세를 나타냅니다.
상관계수의 부호와 크기 구별
r = +0.70
양의 상관, 예시 기준 강한 관계
| |r| 절댓값 | 수업용 해석 예시 |
|---|---|
| 0.00–0.29 | 약함 또는 거의 없음 |
| 0.30–0.69 | 중간 정도 |
| 0.70–1.00 | 강함 |
−0.80은 +0.40보다 강한 상관이다. 마이너스는 ‘약하다’가 아니라 반대 방향이라는 뜻이다.
강도 분류 경계값은 분야별로 다르게 정할 수 있다. 학문 분야·표본 크기·측정 오차·실질적 의미를 함께 고려한다.
09 · 상관분석의 가설검정
상관계수가 0이 아니면 무조건 유의할까?
같은 상관계수여도 조사한 대상의 수(n)에 따라 통계적으로 유의한지에 대한 판단이 달라질 수 있다.
교재 pp. 283–284
① 같은 r = +0.30인데, 조사한 학생 수가 달라지면?
공부 시간(X)과 시험 점수(Y)를 조사했다고 가정해 보자. 두 집단 모두 r = +0.30이다. 표본 크기 버튼을 눌러 점의 개수와 p값이 어떻게 달라지는지 살펴보자.
12명의 자료: 양의 상관 경향이 보여도 우연과 구분하기 어렵다.
점 하나가 학생 한 명을 뜻한다. 예시 자료는 상관계수가 정확히 +0.30이 되도록 만든 가상 자료이다.
양측검정 p값p = 0.3434
귀무가설 아래에서 이 정도 이상 극단적인 결과를 얻을 확률
유의수준 α = 0.05기각하지 못함
p값을 0.05와 비교하여 판단
숫자로 확인하는 검정통계량
t = 0.30 × √[10 ÷ 0.91] = 0.994
자유도(df) = 12 − 2 = 10 · p = 0.3434
② p값과 합격선처럼 정해 둔 기준(α=0.05)을 비교
초록 영역(p<0.05)은 귀무가설 기각, 연분홍 영역(p≥0.05)은 기각하지 못함. 이는 유의성 판단 기준을 나타낸 그림이다.
💡 먼저, 쉽게 생각해 보자
친구 12명의 설문 결과에서 공부 시간이 길수록 점수가 조금 높은 경향을 발견했다고 해 보자. 우연히 그런 친구들이 모였을 가능성을 무시하기 어렵다. 100명을 조사했는데도 같은 정도의 관계가 나타났다면, 우연만으로 이 결과를 설명하기가 더 어려워진다.
③ 가설검정은 이렇게 4단계로 진행해요
1
먼저 두 가지 주장 세우기
H₀: ρ = 0 → 모집단에는 직선 모양의 상관관계가 없다는 기본 주장.
H₁: ρ ≠ 0 → 모집단에 직선 모양의 상관관계가 있다는 다른 주장.
2
자료를 모아 r과 n 확인하기
r=+0.30은 조사한 자료의 직선적 관계가 어느 정도인지를 나타내는 수치다. n=12 또는 100은 조사한 사람 수다.
3
p값 계산하기
H₀가 맞다고 가정한 세상에서 이런 정도 이상으로 뚜렷한 표본 상관이 나올 가능성을 계산한다. 피어슨 검정에서는 t = r√[(n−2)/(1−r²)]를 사용한다.
4
0.05와 비교하고 결론 내리기
p<0.05면 H₀ 기각 → 통계적으로 유의한 선형 상관의 증거.
p≥0.05면 H₀를 기각하지 못함 → 상관이 없다고 증명한 것은 아니다.
12명일 때: p=0.3434는 0.05보다 큽니다. 즉, 현재 자료만으로는 모집단에 선형 상관이 있다고 판단할 만큼 증거가 충분하지 않습니다.
용어 읽기
r(알) = 표본에서 계산한 상관계수 · ρ(로) = 알고 싶은 모집단의 상관계수 · n(엔) = 표본 수 · α(알파) = 미리 정한 판단 기준(유의수준) · p값 = H₀ 아래에서 현재 결과만큼 또는 더 극단적인 결과가 나올 확률
r(알) = 표본에서 계산한 상관계수 · ρ(로) = 알고 싶은 모집단의 상관계수 · n(엔) = 표본 수 · α(알파) = 미리 정한 판단 기준(유의수준) · p값 = H₀ 아래에서 현재 결과만큼 또는 더 극단적인 결과가 나올 확률
📏 r과 p는 서로 다른 질문
r은 “직선 관계가 어느 방향으로 얼마나 강한가?”를 묻고, p는 “이 관계가 모집단에서도 0이 아니라고 볼 통계적 증거가 있는가?”를 판단하는 데 쓰인다.
🚦 0.05는 ‘통과 기준’
α=0.05는 H₀가 실제로 참일 때도 잘못 기각할 위험을 5% 수준으로 정한 것이다. p값이 H₀가 참일 확률이라는 뜻은 아니다.
⚠️ 유의하다고 곧 인과는 아님
p<0.05여도 “공부 시간이 점수를 높였다”고 단정할 수 없다. 상관은 인과와 다르며, 표본추출과 검정 가정도 점검해야 한다.
🎯 한 문장 정리: 같은 r=0.30이어도 n=12에서는 p≈0.3434(유의하지 않음), n=100에서는 p≈0.0024(유의함). 상관계수의 크기와 통계적 유의성은 구별해서 해석하자.
교수자 참고: 위의 수치들은 독립적 관측과 통상적인 피어슨 상관 t 검정의 가정(예: 모집단의 이변량 정규성)이 적절하다는 전제 아래 계산한 가상 사례다. 단지 표본 수가 크다는 사실만으로 모든 연구 결과가 유의해지는 것은 아니다.
10 · R 실습: mtcars
자동차 마력(hp)과 연비(mpg)는 어떻게 연결될까?
R 기본 내장 자료 32대의 실제 값을 사용한 교재 예제.
교재 p. 284
mtcars 32대의 산점도
가로축: 총마력 hp · 세로축: 연비 mpg(마일/갤런)
상관계수
−0.7762
공분산
−320.7321
p-value
1.788×10⁻⁷
R 코드와 결과 읽기
# R 기본 데이터 불러오기
data(mtcars)
a <- mtcars$mpg
b <- mtcars$hp
cor(a, b) # −0.7761684
cov(a, b) # −320.7321
cor.test(a, b, method="pearson")
t = −6.7424, df = 30
p-value = 1.788e−07
95% 신뢰구간 = [−0.8853, −0.5861]
p-value = 1.788e−07
95% 신뢰구간 = [−0.8853, −0.5861]
마력이 높은 자동차일수록 연비(mpg)가 낮아지는 강한 음의 선형 상관이 관찰되며, 통계적으로 유의하다.
이 자료만으로 ‘마력 증가가 연비 저하를 원인으로 발생시킨다’고 단정할 수는 없다. 차량 무게·설계 등의 요인이 함께 관련될 수 있다.
11 · 핵심 요약과 개념 점검
상관분석을 한 장으로 정리하자
언제 어떤 계수를 선택할지, 숫자를 어떤 문장으로 읽을지 정리한다.
교재 pp. 280–284
학습 핵심 5가지
01. 산점도
관계의 형태·방향·이상치를 확인한다.
02. 공분산
함께 움직이는 방향 (+/−)을 본다.
03. 피어슨 r
연속형 수치 간 선형관계의 방향과 강도를 본다.
04. 스피어만·켄달
순위 관계·단조적 경향·순서 일치 여부를 본다.
05. 가설검정
p값·신뢰구간으로 통계적 불확실성을 확인한다.
이해 확인 퀴즈
Q1. r = −0.85는 무엇을 의미할까?
Q2. X와 Y의 관계가 U자형이면 r=0에 가까울 수 있을까?
Q3. p < 0.05이면 X가 Y의 원인임이 증명될까?
한 문장: “산점도로 모양을 확인하고, 목적에 맞는 상관계수를 구한 뒤, 통계적 유의성과 인과적 해석을 구별한다.”
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